Вернуться к старой версии портала ПЕРЕЙТИ
Оставить отзыв
  1. Статьи
Заметки пользователей
22.02.2019 07:40
PDF
100501
26

Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами

Попробуем нестандартно в сравнении с книгами по радиоэлектронике и цифровым системам связи, простыми житейскими примерами объяснить суть теоремы Котельникова. Если читатель еще не знаком с теоремой отсчётов, то рекомендуется сначала изучить ее формулировку в деловом официальном стиле. Смотрите, например, прошлую статью

Аналоговые и дискретные процессы в природе

Абсолютное большинство процессов в природе протекают непрерывно, (изменение температуры воздуха на улице, давления, влажности, изменение скорости ветра, колебание электрического тока в проводнике, сияние Солнца). Почему все эти процессы непрерывны? Нам кажется, что время течет непрерывно, а значит в каждый момент времени должно существовать какое-то значение температуры воздуха или значение силы тока в проводнике, или значение интенсивности света Солнца. Непрерывные процессы, функции или сигналы называют аналоговыми (от слова аналог – нечто сходное, подобное чему-то, т.е. функция как модель является аналогом какому-то физическому процессу). Можно наблюдать множество непрерывных процессов в природе, например, непрерывный поток воды в источнике. Струя воды при падении вниз сужается как раз в силу поддержания непрерывности потока.

Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами

Аналоговый сигнал даже на конечном временном промежутке подразумевает набор бесконечного числа значений. Однако регистрирующие устройства, как правило фиксируют конечное число значений, поэтому мы получаем дискретные сигналы (дискретный от лат. discretus означает раздельный, состоящий из отдельных частей).

Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами


Представление непрерывного и дискретного сигналов.

Дискретные процессы также многочисленны в природе, как и аналоговые состояния. Дискретные процессы не могут находиться в каком-то промежуточном состоянии между определенными значениями. Придумаем несколько примеров из жизни:

  1. Из квантовой физики 1-й постулат Бора: электрон в атоме может двигаться только по определенным (можно сказать по дискретным) орбитам, находясь на которых, он не излучает и не поглощает энергию. Электроны в атоме, находясь на определенных стационарных (т.е. дискретных) орбитах, имеет вполне определённые дискретные значения энергии Е1, Е2, Е3 и т.д.
  2. Если вы играете на пианино, то звучащая музыка во времени представляет собой перескоки с одной дискретной ноты на другую, то есть ноты – это отдельно выбранные дискретные звуки.
  3. Когда мы поднимаемся по лестнице, ступня в пространстве оси высот находится только на определенной дискретной координате (ступеньке)
Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами

Поскольку человек не может оперировать с бесконечными числами и величинами, обычно все округляем до ближайших целых чисел – в результате получаем цифровые сигналы. Например, мы наносим цифровую шкалу на столбик термометра и фиксируем округленное значение температуры. Непрерывное время мы разбиваем на секунды минуты, часы – наносим цифры на циферблат часов. Все символьные и знаковые системы, созданные человечеством для обмена информацией, использует конечное число возможных элементов.

Поскольку все вычислительные информационные устройства могут работать лишь с дискретными символьными системами и с цифровыми сигналами, постоянно возникает необходимость в переходе от существующих в природе непрерывных процессов, к дискретным и цифровым. С развитием цифровой связи и цифровых устройств (микроконтроллеров, компьютеров) постоянно и повсеместно на каждом шагу выполняется аналого-цифровое преобразование сигналов, неотъемлемой частью которого является дискретизация сигналов. Но здесь важно следующее: перейти от непрерывного сигнала к дискретному дело нехитрое – здесь удачно подходит выражение "ломать не строить". По аналогии можно сказать "ломать аналоговый сигнал – не восстанавливать его", здесь все просто реализовать, но главное при этом выполнить дискретизацию правильно. Одно дело просто произвести выборку отдельных значений сигнала, но есть еще другое дело – потом надо будет по этим значениям снова восстановить исходный непрерывный сигнал. Как правильно дискретизировать сигналы говорится в теореме о дискретизации сигналов, или ее можно называть в честь автора – теоремой Котельникова.

Если не знать теорему Котельникова

Итак, мы выяснили, что как и множество процессов в природе, электрические сигналы, используемые во всей электронике и системах связи бывают аналоговые и дискретные. В цифровых системах необходимо переходить от аналоговых сигналов к дискретным, при этом переход должен быть корректным.

Наглядный пример номер раз. Давайте посмотрим на примере двух музыкальных фрагментов, что будет, если осуществлять дискретизацию сигнала некорректно.


Вот что будет при неправильной оцифровке музыки

Исходная музыкальная запись

После неправильной дискретизации


Вот что будет при неправильной оцифровке речи

Исходная запись

После неправильной дискретизации


Наглядный пример № 2. На рисунке ниже представлены 7 сигналов, каждый из которых соответствует своей музыкальной ноте – До, Ре, Ми, Фа, Соль, Ля, Си. Все они оцифрованы с частотой дискретизации 1700 Гц.

Давайте послушаем, что из этого получилось.

Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами
Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами

Надеюсь, с музыкальным слухом все в порядке и вы услышали, что с последними двумя прозвучавшими нотами что-то не так. Если не знать теорему Котельникова, то будет непонятно, почему звук при дискретизации исказился. Поэтому давайте разбираться в этой теореме.

Наглядное, но нестандартное объяснение теоремы о дискретизации

Представим себе, что мы работники Animal Planet и хотим изучить траекторию движения в джунглях какой-нибудь редкой змейки из красной книги. Назовем, например, изучаемую змею Зигзагусс.

Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами

С целью исследования мест обитания змеи и ее повадок цепляем к ее хвосту GPS-датчик, который будет регистрировать ее местоположение в отдельные моменты времени.

Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами

Вопрос: как надо запрограммировать датчик, чтобы мы получили точную траекторию движения змейки, т.е. получили самый подробный график траектории движения юркой змейки со всеми ее виляниями и изгибами? Через сколько миллисекунд или секунд датчику необходимо будет записывать и посылать нам очередную координату положения в пространстве?

Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами

Допустим, наша змея Зигзагусс ползет гармонично – ее хвост совершает гармонические колебания и ее движения можно описать синусоидальными функциями.

Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами


Фото настоящего следа от змеи на песке.

Траектория движения представляет собой колебания с различными частотами. Так вот, по правилам теоремы о дискретизации, чтобы восстановить всю траекторию движения змейки, необходимо найти составляющую колебаний самой высокой частоты.

Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами

Если по дискретным точкам мы сможем восстановить составляющую колебаний самой высокой частоты, то мы сможем восстановить всю траекторию змейки. Определим периоды всех колебаний (см. рисунок ниже).

Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами

Как видно из рисунка, наименьшим периодом колебаний является период . Следовательно, необходимо подобрать частоту выборки дискретных точек именно для колебания с периодом , тогда и все остальные колебания мы сможем потом восстановить. Другими словами, в соответствии с теоремой о дискретизации (см. формулировку здесь) можно полностью восстановить данную синусоидальную функцию, если брать дискретные точки через интервал времени вдвое меньший длительности периода . Это означает, что необходимо брать точки с таким интервалом, чтобы на период колебания самой высокой частоты приходилось не менее 2-х точек.

Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами

В этом случае можно будет с высокой точностью восстановить всю непрерывную траекторию движения исследуемой змеи.

Предположим теперь, что Зигзагусс опьянилась запахом одурманивающего цветка и стала ползти негармонично, несуразно.

Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами


 

В этом случае для определения периода дискретизации нам необходимо самим отыскать гармонию в данной кривой функции, а она есть внутри любого сигнала всегда, что пытался в свое время доказать всем людям французский математик Жан-Батист Фурье. Также как любое тело можно разложить на множество атомов, также и полученную сложную функцию (от траектории змеи), можно разложить на множество гармонических функций. Физические тела разные, потому что они отличаются друг от друга структурой молекул. Например, мы говорим H2O – это вода, что означает: молекула воды состоит из двух атомов водорода H и одного атома кислорода O. Точно также можно сказать, что разные сигналы отличаются разным составом. Например, такой вот сигнал

Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами

состоит из двух гармонических функций (синус и косинус) с частотой 1000 Гц и одного синуса с частотой 2000 Гц (2000 Гц означает, что гармоника совершает 2 тысячи колебаний в секунду). В соответствии с условием теоремы Котельникова, о котором мы уже ранее говорили, для такого сигнала временной интервал между дискретными точками необходимо брать таким, чтобы он был меньше половины периода самой высокой частоты. В нашем случае имеется гармоника с максимальной частотой 2 тысячи колебаний в секунду (2000 Гц), значит период сигнала равен 1/2000 = 0.005 секунд и значит период между дискретными точками должен быть менее, чем 0.005/2 = 0.0025 секунды.

Чтобы определить требуемый период между дискретными точками для траектории нашей змейки, необходимо определить из каких гармонических функций она состоит, а точнее нас интересует значение частоты наивысшей гармонической функции (т.е. фиолетовой на рисунке).

Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами

Делим период фиолетовой гармоники пополам, и получаем граничное значение для периода дискретизации функции траектории одурманенной змеи. Все, задача решена, можно произвести дискретизацию данного сложного сигнала.

Знаем и соблюдаем условия теоремы Котельникова

Теперь, когда мы знаем теорему Котельникова, давайте еще раз рассмотрим задачу правильного перехода от аналоговых 7 сигналов- музыкальных нот к дискретным. Итак, у нас есть семь гармонических колебаний, с частотами

Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами

Для правильной дискретизации, чтобы не было искажений, необходимо взять частоту дискретизации не менее в два раза больше максимальной частоты сигнала. Ранее мы брали частоту 1700 Гц, но как можно посчитать, такая частота подходит для сигналов нот До – Соль (для ноты Соль требуется частота дискретизации 784*2=1568 Гц), а вот для сигналов нот Ля и Си значение 1700 Гц уже не годится.

Еще раз рассмотрим дискретизацию наших сигналов

Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами

Как видно из рисунка из-за несоблюдения условий теоремы Котельникова для сигналов Ля и Си с частотами 880 Гц и 988 Гц, через получившиеся дискретные отсчёты можно провести другие гармонические сигналы (красные функции), частоты которых меньше 1700 Гц / 2 = 850 Гц. Произошел эффект, который называют наложение спектров (в англоязычной литературе – aliasing). В рамках данной статьи "для чайников" мы не будем подробно рассматривать этот эффект, поскольку здесь уже требуются знания спектрального анализа сигналов. Этот эффект интересен тем, что объясняет условия теоремы Котельникова с позиций представления сигналов в частотной области (см. рисунок ниже). Если разобраться в этом, то теорема Котельникова и принципы восстановления сигналов станут более понятными. Описание этого эффекта можно найти почти в каждой книге по цифровой обработке сигналов.

Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами

Но сейчас новичкам в этой области главное запомнить результат несоблюдения теоремы отсчётов – восстановление сигналов по имеющимся дискретным отсчётам будет неоднозначно. Чтобы такого не происходило, необходимо чтить теорему Котельникова.

Максимальная частота среди наших 7 сигналов 988 Гц (нота Си), следовательно частота дискретизации должна быть больше, чем 2*988=1976 Гц. Важно здесь неуместно отметить, что в 1976 году был создан первый персональный компьютер – начался кустарный выпуск Apple I.

Значит надо выбрать частоту дискретизации больше значения 1976.

Вот как будут звучать семь наших сигналов при частоте дискретизации 2000 Гц.

Задачка для разминки мозгов

Нельзя сказать, что эта задачка очень простая для начинающих и ее решит любой. Новички в этой области не унывайте, если не получится (здесь нужны знания теории сигналов), ну а тот, кто решит, может собой гордиться.

С двух датчиков регистрируются сигналы 

Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами
Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами

Какой должна быть минимальная частота дискретизации в АЦП по условию теоремы о дискретизации, если К – операция сложения и если К – операция умножения?

26 комментариев
NN----NN
NN----NN

Наиболее подходящая аудитория для ЭТОГО - читатели "Пионерской правды" или какого-либо развлекательного издания для блондинок. А нанюхавшаяся змейка - реклама запрещённых веществ. "Как это развидеть?".

Глеб Высоцкий
Глеб Высоцкий

А мне понравилось. Все в порядке ас аудиторией, даже показалось, наоборот, примеры и объяснения слишком сложные, можно было проще. А заодно с дискретизацией рассказал бы автор про квантование.

И еще бы кто рассказал популярно по теорему Шеннона. А то при общении с клиентами (да и со специалистами иногда) периодически всплывают сказки про всякие "ртутные антенны" и пр. сверхъестественные системы.

svazist
svazist

@NN----NN

Это и называется объяснение "для чайников" максимально простыми и лучше даже для запоминания нестандартными примерами. Смысл публиковать материал в деловом стиле изложения, этого добра можно найти в сотнях учебниках, многие из них с кучей непонятных формул (для большинства простых людей) и поэтому читать им их неинтересно. Тема профессиональная связисткая, не для блондинок. Чем вам не угодила развлекательная форма, nag это же интернет портал, а не ваковский научный журнал.

Saab95
Saab95

На Наге уже давно не было хоть чего-то стоящих обзоров и статей.

NN----NN
NN----NN

Как раз и не понравилась та первая часть, которая "для чайников". Вы почему-то решили, что у аудитории уровень знаний на уровне плинтуса, раз пишите, что такое "герц" ("2000 Гц означает, что гармоника совершает 2 тысячи колебаний в секунду").

Зачем-то пример со "змейкой", могли бы использовать музыкальный пример вместо "змейки", добавив к звучанию/изображению отдельных нот ещё и одновременное звучание 2-3 нот (аккорд) и продемонстрировав то, что при выборе частоты дискретизации нужно учитывать частоту самой высокой ноты в аккорде.

Из замечаний/придирок:

Например, название "Аналоговые и дискретные процессы в природе". Правильнее - "Непрерывные и дискретные ..."

В тексте слова "непрерывный" и "аналоговый" Вы используете как полные синонимы, а это не так. Непрерывным м.б. и аналоговый сигнал, и цифровой, а аналоговый сигнал м.б. и не непрерывным. А ведь дискретность/непрерывность напрямую связаны со спектром.

svazist
svazist

Благодарю за замечание!
Вот что хотелось еще отметить. Сейчас разброс уровня знаний людей очень велик. Конечно, еще со школьного курса физики все должны знать, что такое Гц. Однако поверьте, в настоящее время даже среди связистов я встречал людей, не знающих, что такое Гц. Кроме того, не надо забывать про новичков в этой области, которые могут читать данную статью (а про уровень современного школьного образования вообще говорить не хочется). Возможно, это пояснение и чересчур элементарное, но вы как специалист просто пропустите его мимо глаз (или отреагируйте на это по принципу "повторение - мать учения"), в этом же нет ничего страшного. Для кого-то возможно это пояснение освежило память и помогло лучше понять принцип выбора частоты дискретизации.

YuryD
YuryD

Нормальная статья. Единственного не хватает, что условия этих теорем невозможно в этом мире преодолеть. Есть пока физические пределы, типа скорость света, и пределы модуляции, до которых мы еще не доросли. Это я про пацанов, да мы тут гиг дадим, но не клиенту. Пусть пытаются 4096куам внедрить, а чо - 4К телевизоры уже пошли.

frol13
frol13
В 22.02.2019 в 17:51, NN----NN сказал:

В тексте слова "непрерывный" и "аналоговый" Вы используете как полные синонимы, а это не так. Непрерывным м.б. и аналоговый сигнал, и цифровой, а аналоговый сигнал м.б. и не непрерывным. А ведь дискретность/непрерывность напрямую связаны со спектром.

Вы здесь, кмк, заблуждаетесь. Посмотрите на определение аналогового сигнала (из Википедии в данном случае)

Цитата

Ана́логовый сигна́л — сигнал данных, у которого каждый из представляющих параметров описывается функцией времени и непрерывным множеством возможных значений

Слово непрерывно специально выделено. Цифровой сигнал (математический) не может быть непрерывным - функция его описывающая, не является непрерывной.

При этом со спектрами у Вас тоже путаница - цифровой сигнал (например, прямоугольный импульс или их последовательность) приобретает то новое свойство, что его спектр становится бесконечным, но не периодическим. Принимает совершенно новые свойства именно дискретный сигнал - его спектр становится периодическим с частотой дискретизации.

Другое дело, что идеальных цифровых сигналов не бывает и на осциллографе можно, естественно, рассмотреть, растянув развертку, фронт и спад импульсов. И в этом смысле сигнал будет аналоговым.

Такой вот дуализм получается.

Отсюда, кстати, проистекает то, что математические (и приближенные к ним реальные) цифровые сигналы имеют бесконечный спектр и формально не могут быть дискретизированы по теореме Котельникова, но благодаря тому, что они имеют затухающий спектр, высшими составляющими пренебрегают, специально отрезая их фильтром, чтобы они потом после дискретизации за счет наложения "хвостов" спектра не вносили искажений в сигнал.

И вот это очень важное обстоятельство автором не отмечено. Зато приведен, как считаю, дурацкий пример, имеющий чисто академическое значение, связанное с ломанием головы, какой спектр будет у sinc(x), а еще с переводом "нечеловеческой" аналитической формы представления сигналов в нормальную человеческо- техническую.

P.S. Хотя мое описание тоже не безупречно и чувствую, что и у меня тут есть путаница в терминологии.

Поэтому выражу соответствие между классом сигнала и видом его спектра:

1. Аналоговый (непрерывный сигнал) -> конечный спектр. Пример - гармоника, АМ, ЧМ- колебания.

2. Не непрерывный сигнал (дискретный) -> бесконечный спектр. Пример - прямоугольный импульс, последовательность импульсов.

3. Дискретизированный сигнал, то есть сигнал, в котором взяты отсчеты из сигналов класса 1 или 2 -> периодический спектр с частотой дискретизации, сам вид спектра в пределах одного периода сохраняется.

frol13
frol13
В 22.02.2019 в 12:38, Глеб Высоцкий сказал:

И еще бы кто рассказал популярно по теорему Шеннона.

Не являюсь глубоким специалистом в этой области. Но тут интересное совпадение. Вчера, разбирая всякие научно-технические книги, наткнулся на сборник статей по теории и технике телевидения от 2007 г, в котором товарищ доказывал на уровне философско-технических размышлений, что теорему Шеннона понимают превратно, и что его предел не имеет смысла в отрыве от его же теории кодирования. И что они в свое время решили задачу передачи телеметрии из космоса интуитивно не по Шеннону, поскольку по Шенннону у них не вышло, а потом доказали математическую теорему, уточняющую теорему Шеннона, но она не была принята научным сообществом. Призывает пересмотреть догмат Шеннона и проч. Причем он лично встречался с Шенноном. В подробности я не вдавался, но заинтриговало. Надо посмотреть на досуге в праздники. Спасибо за напоминание.